Sistemas numéricos
Un sistema numérico es un conjunto de reglas para representar números usando diferentes signos numéricos. Los sistemas numéricos se clasifican en dos tipos: no posicionales y posicionales.
En los sistemas de numeración posicional, el valor de cada dígito no depende de la posición que ocupa, es decir, del lugar que ocupa en el conjunto de dígitos. En el sistema de numeración romana, solo hay siete dígitos: uno (I), cinco (V), diez (X), cincuenta (L), cien (C), quinientos (D), mil (M). Usando estos números (símbolos), los números restantes se escriben mediante sumas y restas. Por ejemplo, IV es la notación del número 4 (V — I), VI es el número 6 (V + I), y así sucesivamente. El número 666 se escribe en el sistema romano de la siguiente manera: DCLXVI.
Esta notación es menos conveniente que la que usamos actualmente. Aquí se escribe seis con un símbolo (VI), seis decenas con otro (LX), seiscientos tercero (DC). Es muy difícil realizar operaciones aritméticas con números escritos en el sistema numérico romano. Además, un inconveniente común de los sistemas no posicionales es la complejidad de representar números lo suficientemente grandes como para dar como resultado una notación extremadamente engorrosa.
Ahora considere el mismo número 666 en el sistema numérico posicional. En él, un solo signo 6 significa el número de unidades si está en el último lugar, el número de decenas si está en el penúltimo lugar y el número de centenas si está en el tercer lugar desde el final. Este principio de escribir números se llama posicional (local). En tal grabación, cada dígito recibe un valor numérico dependiendo no solo de su estilo, sino también de dónde se encuentra cuando se escribe el número.
En el sistema numérico posicional, cualquier número representado como A = +a1a2a3 … ann-1an puede representarse como una suma
donde n — número finito de dígitos en la imagen de un número, ii número i-go dígito, d — base del sistema numérico, i — número ordinal de la categoría, dm-i — "peso" de la categoría i-ro . Los dígitos ai deben satisfacer la desigualdad 0 <= a <= (d — 1).
Para notación decimal, d = 10 y ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dado que los números que consisten en unos y ceros pueden percibirse como números decimales o binarios cuando se usan juntos, generalmente se indica la base del sistema numérico, por ejemplo (1100) 2-binario, (1100) 10-decimal.
En las computadoras digitales, se utilizan ampliamente otros sistemas además del decimal: binario, octal y hexadecimal.
Sistema binario
Para este sistema d = 2 y aquí solo se permiten dos dígitos, es decir, ai = 0 o 1.
Cualquier número expresado en el sistema binario se representa como la suma del producto de la potencia de la base por dos dígitos binarios del bit dado. Por ejemplo, el número 101,01 se puede escribir así: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, que corresponde al número en sistema decimal: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .
En la mayoría de las computadoras digitales modernas, el sistema numérico binario se usa para representar números en una máquina y realizar operaciones aritméticas con ellos.
El sistema numérico binario, en comparación con el decimal, permite simplificar los circuitos y circuitos del dispositivo aritmético y el dispositivo de memoria y aumentar la confiabilidad de la computadora. El dígito de cada bit de un número binario está representado por los estados «encendido/apagado» de elementos tales como transistores, diodos, que funcionan de forma fiable en los estados «encendido/apagado». Las desventajas del sistema binario incluyen la necesidad de traducir de acuerdo con un programa especial los datos digitales originales al sistema numérico binario y los resultados de la decisión a decimal.
Sistema de numeración octal
Este sistema tiene base d == 8. Los números se utilizan para representar números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
El sistema de numeración octal se usa en la computadora como ayuda para preparar problemas para resolverlos (en el proceso de programación), para verificar el funcionamiento de una máquina y para depurar un programa. Este sistema da una representación más corta del número que el sistema binario. El sistema numérico octal le permite simplemente cambiar al sistema binario.
sistema numérico hexadecimal
Este sistema tiene base d = 16. Se utilizan 16 caracteres para representar números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, y el los caracteres A … F representan los números decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15. El número hexadecimal (1D4F) 18 corresponderá al decimal 7503 porque (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15x16O = (7503)10
La notación hexadecimal permite escribir números binarios de manera más compacta que octal. Encuentra aplicación en dispositivos de entrada y salida y dispositivos de visualización de orden numérico de algunas computadoras.
Sistema numérico binario-decimal
La representación de números en sistema binario-decimal es la siguiente. Se toma como base la notación decimal del número, y luego cada uno de sus dígitos (del 0 al 9) se escribe en forma de un número binario de cuatro dígitos llamado tétrada, es decir, no se usa ningún signo para representar cada dígito del sistema decimal, sino cuatro.
Por ejemplo, el decimal 647,59 correspondería a BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
El sistema numérico binario-decimal se utiliza como sistema numérico intermedio y para codificar números de entrada y salida.
Reglas para transferir un sistema numérico a otro
El intercambio de información entre dispositivos informáticos se realiza principalmente a través de números representados en el sistema numérico binario. Sin embargo, la información se presenta al usuario en números en el sistema decimal y el direccionamiento de comandos se presenta en el sistema octal. De ahí la necesidad de transferir números de un sistema a otro en el proceso de trabajar con una computadora. Para hacer esto, use la siguiente regla general.
Para convertir un número entero de cualquier sistema numérico a otro, es necesario dividir sucesivamente este número por la base del nuevo sistema hasta que el cociente no sea menor que el divisor. El número en el nuevo sistema debe escribirse en forma de restos de división, comenzando por el último, es decir, de derecha a izquierda.
Por ejemplo, convirtamos el decimal 1987 a binario:
El número decimal 1987 en formato binario es 11111000011, es decir (1987)10 = (11111000011)2
Al pasar de cualquier sistema a decimal, el número se representa como la suma de las potencias de la base con los coeficientes correspondientes, y luego se calcula el valor de la suma.
Por ejemplo, vamos a convertir el número octal 123 a decimal: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, es decir (123)8 = (83)10
Para transferir la parte fraccionaria de un número de cualquier sistema a otro, es necesario realizar multiplicaciones sucesivas de esta fracción y las partes fraccionarias resultantes del producto en base al nuevo sistema numérico. La parte fraccionaria de un número en el nuevo sistema se forma en forma de partes enteras de los productos resultantes, a partir de la primera. El proceso de multiplicación continúa hasta que se calcula un número con una precisión determinada.
Por ejemplo, convirtamos la fracción decimal 0.65625 al sistema numérico binario:
Dado que la parte fraccionaria del quinto producto consta solo de ceros, no es necesaria una multiplicación adicional. Esto significa que el decimal dado se convierte a binario sin error, es decir (0,65625)10 = (0,10101)2.
La conversión de octal y hexadecimal a binario y viceversa no es difícil. Esto se debe a que sus bases (d — 8 y d — 16) corresponden a números enteros de dos (23 = 8 y 24 = 16).
Para convertir números octales o hexadecimales a binarios, basta con sustituir cada uno de sus números por un número binario de tres o cuatro cifras, respectivamente.
Por ejemplo, traduzcamos el número octal (571)8 y el número hexadecimal (179)16 al sistema numérico binario.
En ambos casos obtenemos el mismo resultado, es decir (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Para convertir un número de decimal binario a decimal, debe reemplazar cada tétrada del número representado en decimal binario con un dígito representado en decimal.
Por ejemplo, escribamos el número (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 en notación decimal, es decir (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)