Leyes del álgebra de circuito de contacto, álgebra booleana

Un registro analítico de la estructura y condiciones de funcionamiento de los circuitos de relés permite realizar transformaciones analíticas equivalentes de circuitos, es decir, transformando fórmulas estructurales, encontrando esquemas similares en su funcionamiento. Los métodos de conversión están especialmente desarrollados para fórmulas estructurales que expresan circuitos de contacto.

Para los circuitos de contacto, se utiliza el aparato matemático del álgebra de la lógica, más precisamente, una de sus variedades más simples, llamada cálculo de proposiciones o álgebra booleana (en honor al matemático del siglo pasado J. Boole).

El cálculo proposicional se desarrolló originalmente para estudiar la dependencia (la verdad o falsedad de los juicios complejos sobre la verdad o falsedad de las proposiciones simples que los componen. En esencia, el cálculo proposicional es un álgebra de dos números, es decir, un álgebra en que cada argumento individual y cada función puede tener uno de dos valores.

Esto determina la posibilidad de utilizar el álgebra booleana para transformar circuitos de contacto, ya que cada uno de los argumentos (contactos) incluidos en la fórmula estructural puede tomar solo dos valores, es decir, puede ser cerrado o abierto, y toda la función representada por el estructural la fórmula puede expresar un ciclo cerrado o abierto.

El álgebra booleana introduce:

1) objetos que, como en el álgebra ordinaria, tienen nombres: variables independientes y funciones; sin embargo, a diferencia del álgebra ordinaria, en el álgebra booleana ambos pueden tomar solo dos valores: 0 y 1;

2) operaciones lógicas básicas:

• adición lógica (o disyunción, OR lógico, denotada por el signo ?), que se define de la siguiente manera: el resultado de la operación es 0 si y solo si todos los argumentos de la operación son iguales a 0, de lo contrario el resultado es 1;

• multiplicación lógica (o concatenación, Y lógico, denotado por ?, o no especificado en absoluto) que se define de la siguiente manera: el resultado de la operación es 1 si y solo si todos los argumentos de la operación son iguales a 1, de lo contrario el resultado es 0;

• negación (o viceversa, NOT lógico, indicado por una barra sobre el argumento), que se define de la siguiente manera: el resultado de la operación tiene el valor opuesto del argumento;

3) axiomas (leyes del álgebra booleana), que definen las reglas para transformar expresiones lógicas.

Nótese que cada una de las operaciones lógicas se puede realizar tanto sobre variables como sobre funciones, que a continuación se denominarán funciones booleanas... Recuérdese que, por analogía con el álgebra ordinaria, en el álgebra booleana la operación de multiplicación lógica tiene precedencia sobre la multiplicación lógica. operación de suma.

Las expresiones booleanas se forman combinando operaciones lógicas sobre una serie de objetos (variables o funciones), llamados argumentos de la operación.

La transformación de expresiones lógicas utilizando las leyes del álgebra booleana se suele realizar con el objetivo de minimizar, ya que cuanto más simple es la expresión, menor es la complejidad de la cadena lógica, que es la implementación técnica de la expresión lógica.

Las leyes del álgebra booleana se presentan como un conjunto de axiomas y consecuencias. Estos se pueden verificar de manera bastante simple sustituyendo diferentes valores de las variables.

El análogo técnico de cualquier expresión lógica para una función booleana es un diagrama lógico... En este caso, las variables de las que depende una función booleana están conectadas a las entradas externas de este circuito, el valor de una función booleana se forma en el salida externa del circuito, y cada operación lógica en una expresión lógica es implementada por un elemento lógico.

Así, para cada conjunto de señales de entrada a la salida del circuito lógico, se genera una señal que corresponde al valor de una función booleana de este conjunto de variables (más adelante, usaremos la siguiente convención: 0 — nivel de señal bajo , 1 — alto nivel de señal).

Al construir circuitos lógicos, supondremos que las variables se alimentan a la entrada en un código de parafase (es decir, están disponibles tanto los valores directos como los inversos de las variables).

La Tabla 1 muestra las designaciones gráficas convencionales de algunos elementos lógicos de acuerdo con GOST 2.743-91, así como sus contrapartes extranjeras.

Además de los elementos que realizan las tres operaciones del álgebra booleana (AND, OR, NOT), en tab. 1 muestra los elementos que realizan operaciones derivadas del principal:

— AND-NOT — negación de la multiplicación lógica, también llamada movimiento de Schaefer (indicado por |)

— O NO — negación del complemento lógico, también llamada flecha de Peirce (indicada por ?)

Al conectar puertas lógicas en serie, puede implementar cualquier función booleana.

Las fórmulas estructurales que expresan circuitos de relés en general, es decir, que contienen símbolos de águilas que reaccionan, no pueden considerarse funciones de dos valores que expresen solo circuito cerrado o abierto. Por lo tanto, al trabajar con este tipo de funciones, surgen una serie de nuevas dependencias que van más allá de los límites del álgebra booleana.

En el álgebra de Boole, hay cuatro pares de leyes básicas: dos de desplazamiento, dos combinatorias, dos distributivas y dos inversiones legales. Estas leyes establecen la equivalencia de diferentes expresiones, es decir, consideran expresiones que pueden sustituirse entre sí como la sustitución de identidades en el álgebra ordinaria. Como símbolo de equivalencia tomamos el símbolo que es el mismo que el símbolo de igualdad en el álgebra ordinaria (=).

La validez de las leyes del álgebra booleana para circuitos de contacto se establecerá considerando circuitos correspondientes a los lados izquierdo y derecho de expresiones equivalentes.

leyes de viaje

Para sumar: x + y = y + x

Los esquemas correspondientes a estas expresiones se muestran en la Fig. 1, un.

Los circuitos izquierdo y derecho normalmente son circuitos abiertos, cada uno de los cuales se cierra cuando se dispara uno de los elementos (X o Y), es decir, estos circuitos son equivalentes. Para la multiplicación: x ·y = y ·NS.

Los esquemas correspondientes a estas expresiones se muestran en la Fig. 1b, su equivalencia también es obvia.

Arroz. 1

Leyes de combinación

Para la suma: (x + y) + z = x + (y + z)

Para la multiplicación: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Los pares de circuitos equivalentes correspondientes a estas expresiones se muestran en la Fig. 2, a, b

Arroz. 2

Leyes de Distribución

Multiplicación versus suma: (x + y) +z = x + (y + z)

Suma vs Multiplicación. x · y + z = (x + z) ·(y + z)

Los esquemas correspondientes a estas expresiones se muestran en la Fig. 3, a, b.

Arroz. 3.

La equivalencia de estos esquemas se puede verificar fácilmente considerando diferentes combinaciones de actuación de contacto.

Leyes de inversión

Además: NS + c = NS·c

La barra sobre el lado izquierdo de la expresión es un signo de negación o inversión. Este signo indica que toda la función tiene el significado opuesto con respecto a la expresión debajo del signo de negación. No es posible dibujar un diagrama correspondiente a la función inversa completa, pero uno puede dibujar un diagrama correspondiente a la expresión bajo el signo negativo. Por lo tanto, la fórmula se puede ilustrar con los diagramas que se muestran en la Fig. 4, un.

Arroz. 4.

El diagrama de la izquierda corresponde a la expresión x + y, y el de la derecha a NS ·c

Estos dos circuitos son opuestos entre sí en operación, a saber: si el circuito izquierdo con elementos no excitados X, Y es un circuito abierto, entonces el circuito derecho está cerrado. Si en el circuito izquierdo, cuando se dispara uno de los elementos, el circuito se cierra, y en el circuito derecho, por el contrario, se abre.

Dado que, por la definición de signo negativo, la función x + y es la inversa de la función x + y, entonces es obvio que x + y = NS·in.

Respecto a la multiplicación: NS · c = NS + c

Los esquemas correspondientes se muestran en la fig. 4, b.

Leyes translocativas y combinatorias y la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma (corresponden a leyes similares del álgebra ordinaria).Por lo tanto, en el caso de transformación de fórmulas estructurales en el orden de suma y multiplicación de términos, colocación de términos fuera de paréntesis y expansión de paréntesis, puede seguir las reglas establecidas para trabajar con expresiones algebraicas ordinarias. La ley distributiva de la suma con respecto a la multiplicación y las leyes de inversión son específicas del álgebra booleana.