Por qué se usan números complejos para cálculos en circuitos de CA

Como sabes, los números complejos se utilizan para resolver algunos problemas típicos de la ingeniería eléctrica. Pero, ¿para qué sirven y por qué se hace así? Esto es lo que trataremos de entender a lo largo de este artículo. El hecho es que el método complejo o el método de amplitudes complejas es conveniente para calcular circuitos de CA complejos. Y para empezar, recordemos algunos conceptos básicos de matemáticas:

Como puede ver, el número complejo z incluye la parte imaginaria y la parte real, que difieren entre sí y se denotan de manera diferente en el texto. El propio número complejo z se puede escribir en forma algebraica, trigonométrica o exponencial:

Antecedentes históricos

Se cree que la idea de los números imaginarios comenzó en 1545, cuando el matemático, ingeniero, filósofo, médico y astrólogo italiano Girolamo Cardano publicó este método de resolución de ecuaciones en su tratado “El Gran Arte”, donde, según entre otros , admitió que Niccolò le había dado la idea a Tartaglia (un matemático italiano) 6 años antes de la publicación de este trabajo. En su trabajo, Kradano resuelve ecuaciones de la forma:

En el proceso de resolución de estas ecuaciones, el científico se vio obligado a admitir la existencia de algún número «irreal», cuyo cuadrado será igual a menos uno «-1», es decir, como si existiera la raíz cuadrada de un número negativo, y si ahora está elevado al cuadrado, resultará ser el número negativo correspondiente debajo de la raíz. Cardano estableció la regla de la multiplicación, según la cual:

Durante tres siglos, la comunidad matemática estuvo en proceso de acostumbrarse al nuevo enfoque propuesto por Cardano. Los números imaginarios se están arraigando gradualmente, pero los matemáticos son reacios a aceptar. No fue hasta la publicación de los trabajos de Gauss sobre álgebra, donde demostró el teorema fundamental del álgebra, que los números complejos finalmente fueron completamente aceptados, el siglo XIX estaba a la vuelta de la esquina.

Los números imaginarios se convirtieron en un verdadero salvavidas para los matemáticos porque los problemas más complejos se volvieron mucho más fáciles de resolver al aceptar la existencia de números imaginarios.

Así que pronto llegó a la ingeniería eléctrica. Los circuitos de CA a veces eran muy complejos y había que calcular muchas integrales para calcularlos, lo que a menudo era muy inconveniente.

Finalmente, en 1893, el brillante ingeniero eléctrico Carl August Steinmetz habló en Chicago en el Congreso Electrotécnico Internacional con un informe "Números complejos y su aplicación en ingeniería eléctrica", que en realidad marcó el comienzo de la aplicación práctica por parte de ingenieros del método complejo de Cálculo de circuitos eléctricos para corriente alterna.

Lo sabemos por el curso de física. corriente alterna — esta es una corriente que cambia con el tiempo tanto en magnitud como en dirección.

En tecnología, existen diferentes formas de corriente alterna, pero la más común hoy en día es la corriente sinusoidal alterna, esto es lo que se usa en todas partes, con la ayuda de la cual se transmite electricidad, en forma de corriente alterna, que se genera, se convierte por transformadores y es consumido por las cargas. Una corriente sinusoidal cambia periódicamente de acuerdo con una ley sinusoidal (armónica).

Los valores efectivos de la corriente y el voltaje son menores que los valores de amplitud de la raíz de dos veces:

En el método complejo, los valores efectivos de corrientes y voltajes se escriben de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que en ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria se denota con la letra «j», ya que la letra «i» ya se usa aquí para denotar corriente.

De Ley de Ohm determina el valor complejo de la resistencia:

La suma y resta de valores complejos se realiza en forma algebraica, y la multiplicación y división en forma exponencial.

Consideremos el método de amplitudes complejas usando el ejemplo de un circuito específico con ciertos valores de los parámetros principales.

Un ejemplo de resolución de un problema usando números complejos

Dado:

• tensión de bobina 50 V,

• resistencia resistencia 25 ohmios,

• inductancia de bobina 500 mH,

• la capacidad eléctrica del condensador es de 30 microfaradios,

• resistencia de bobina 10 ohmios,

• frecuencia de red 50 Hz.

Encuentre: lecturas de amperímetro y voltímetro, así como vatímetro.

Respuesta:

Para empezar, escribimos la resistencia compleja de los elementos conectados en serie, que consta de partes reales e imaginarias, luego encontramos la resistencia compleja de un elemento activo-inductivo.

¡Recordando! Para obtener la forma exponencial, encuentre el módulo z igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria, y phi igual al arcotangente del cociente de la parte imaginaria dividido por la parte real.

Luego encontramos la corriente y, en consecuencia, las lecturas del amperímetro:

Entonces, el amperímetro muestra una corriente de 0.317 A, esa es la corriente a través de todo el circuito en serie.

Ahora encontraremos la resistencia capacitiva del capacitor, luego determinaremos su resistencia compleja:

Luego calculamos la impedancia compleja total de este circuito:

Ahora encontramos el voltaje efectivo aplicado al circuito:

El voltímetro mostrará un voltaje efectivo de 19,5 voltios.

Finalmente, encontramos la potencia que mostrará el vatímetro, teniendo en cuenta la diferencia de fase entre la corriente y el voltaje.

El vatímetro mostrará 3,51 vatios.

Ahora entiendes la importancia de los números complejos en la ingeniería eléctrica. Se utilizan para el cálculo conveniente de circuitos eléctricos. Muchos dispositivos electrónicos de medición funcionan sobre la misma base.