Las ecuaciones de Maxwell para un campo electromagnético: las leyes básicas de la electrodinámica
El sistema de ecuaciones de Maxwell debe su nombre y apariencia a James Clerk Maxwell, quien formuló y escribió estas ecuaciones a fines del siglo XIX.
Maxwell James Clark (1831 - 1879) es un famoso físico y matemático británico, profesor de la Universidad de Cambridge en Inglaterra.
Prácticamente combinó en sus ecuaciones todos los resultados experimentales obtenidos en ese momento sobre la electricidad y el magnetismo, y dio a las leyes del electromagnetismo una forma matemática clara. Las leyes básicas de la electrodinámica (ecuaciones de Maxwell) se formularon en 1873.
Maxwell desarrolló la doctrina de Faraday del campo electromagnético en una teoría matemática coherente, de la que se desprende la posibilidad de propagación de ondas de procesos electromagnéticos. Resultó que la velocidad de propagación de los procesos electromagnéticos es igual a la velocidad de la luz (cuyo valor ya se conocía a partir de los experimentos).
Esta coincidencia sirvió de base para que Maxwell expresara la idea de la naturaleza común de los fenómenos electromagnéticos y lumínicos, es decir. sobre la naturaleza electromagnética de la luz.
La teoría de los fenómenos electromagnéticos, creada por James Maxwell, encontró su primera confirmación en los experimentos de Hertz, quien obtuvo por primera vez ondas electromagnéticas.
Como resultado, estas ecuaciones jugaron un papel importante en la formación de representaciones precisas de la electrodinámica clásica. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma diferencial o integral. En la práctica, describen en el seco lenguaje de las matemáticas el campo electromagnético y su relación con las cargas y corrientes eléctricas en el vacío y en medios continuos. A estas ecuaciones se le puede agregar expresión de la fuerza de Lorentz, en cuyo caso obtenemos un sistema completo de ecuaciones de la electrodinámica clásica.
Para entender algunos de los símbolos matemáticos usados en las formas diferenciales de las ecuaciones de Maxwell, primero definamos algo tan interesante como el operador nabla.
Operador Nabla (u operador Hamilton) Es un operador diferencial vectorial cuyas componentes son derivadas parciales con respecto a las coordenadas. Para nuestro espacio real, que es tridimensional, es adecuado un sistema de coordenadas rectangulares, para el cual el operador nabla se define de la siguiente manera:
donde i, j y k son vectores de coordenadas unitarias
El operador nabla, cuando se aplica a un campo de alguna manera matemática, da tres combinaciones posibles. Estas combinaciones se llaman:
Degradado — un vector, cuya dirección indica la dirección del mayor aumento de una cierta cantidad, cuyo valor varía de un punto en el espacio a otro (campo escalar), y en magnitud (módulo) es igual a la tasa de crecimiento de este cantidad en esta dirección.
Divergencia (divergencia) — un operador diferencial que mapea un campo vectorial a un escalar (es decir, como resultado de aplicar la operación de diferenciación a un campo vectorial, se obtiene un campo escalar), que determina (para cada punto) "cuánto entra el campo y deja una pequeña vecindad de un punto dado diverge ”, más precisamente cuán diferentes son las entradas y salidas.
Rotor (vórtice, rotación) es un operador diferencial vectorial sobre un campo vectorial.
Ahora piensa bien Ecuaciones de Maxwell en forma integral (izquierda) y diferencial (derecha)que contiene las leyes fundamentales de los campos eléctricos y magnéticos, incluida la inducción electromagnética.
Forma integral: la circulación del vector de intensidad de campo eléctrico a lo largo de un bucle cerrado arbitrario es directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la región delimitada por este bucle.
Forma diferencial: cada cambio en el campo magnético produce un campo eléctrico de remolino proporcional a la tasa de cambio de la inducción del campo magnético.
Significado físico: cualquier cambio en el campo magnético a lo largo del tiempo provoca la aparición de un campo eléctrico de remolino.
Forma integral: el flujo de inducción del campo magnético a través de una superficie cerrada arbitraria es cero. Esto significa que no hay cargas magnéticas en la naturaleza.
Forma diferencial: el flujo de líneas de campo de inducción de un campo magnético de volumen elemental infinito es igual a cero, ya que el campo es un remolino.
Significado físico: en la naturaleza no hay fuentes de campo magnético en forma de cargas magnéticas.
Forma integral: la circulación del vector de intensidad del campo magnético a lo largo de un bucle cerrado arbitrario es directamente proporcional a la corriente total que atraviesa la superficie cubierta por este bucle.
Forma diferencial: existe un campo magnético de remolino alrededor de cualquier conductor que lleve corriente y alrededor de cualquier campo eléctrico alterno.
Significado físico: el flujo de corriente conductora a través de los cables y los cambios en el campo eléctrico con el tiempo conducen a la aparición de un campo magnético de remolino.
Forma integral: el flujo del vector de inducción electrostática a través de una superficie cerrada arbitraria que encierra las cargas es directamente proporcional a la carga total ubicada dentro de esa superficie.
Forma diferencial: el flujo del vector de inducción del campo electrostático de un volumen elemental infinito es directamente proporcional a la carga total en ese volumen.
Significado físico: la fuente del campo eléctrico es una carga eléctrica.
El sistema de estas ecuaciones se puede complementar con un sistema de las llamadas ecuaciones materiales que caracterizan las propiedades del medio material que llena el espacio:
