Flujo y circulación de un campo vectorial

NBasado en los materiales de lectura de Richard Feynman

Al describir las leyes de la electricidad en términos de campos vectoriales, nos enfrentamos a dos características matemáticamente importantes del campo vectorial: flujo y circulación. Sería bueno entender qué son estos conceptos matemáticos y cuál es su significado práctico.

La segunda parte de la pregunta es fácil de responder de inmediato porque los conceptos de flujo y circulación están en el corazón de ecuaciones de Maxwell, sobre el que descansa realmente toda la electrodinámica moderna.

Entonces, por ejemplo, la ley de la inducción electromagnética se puede formular de la siguiente manera: la circulación del campo eléctrico E a lo largo de un circuito cerrado C es igual a la tasa de cambio del flujo del campo magnético B a través de la superficie S limitada por este bucle B.

En lo que sigue, describiremos de manera bastante simple, utilizando ejemplos de fluidos claros, cómo se determinan matemáticamente las características del campo, de las cuales se toman y obtienen estas características del campo.

Flujo de campo vectorial

Para empezar, dibujemos una cierta superficie cerrada de forma completamente arbitraria alrededor del área en estudio. Después de representar esta superficie, nos preguntamos si el objeto de estudio, al que llamamos campo, fluye a través de esta superficie cerrada. Para entender de qué se trata todo esto, considere un ejemplo líquido simple.

Digamos que estamos investigando el campo de velocidad de cierto fluido. Para tal ejemplo, tiene sentido preguntar: ¿pasa más fluido a través de esta superficie por unidad de tiempo que el que fluye hacia el volumen limitado por esta superficie? En otras palabras, ¿la tasa de flujo de salida siempre se dirige principalmente de adentro hacia afuera?

Por la expresión "flujo de campo vectorial" (y para nuestro ejemplo la expresión "flujo de velocidad de fluido" será más precisa), estaremos de acuerdo en nombrar la cantidad total de fluido imaginario que fluye a través de la superficie del volumen considerado limitado por dada una superficie cerrada (para el caudal de fluido, cuánto fluido sigue del volumen por unidad de tiempo).

Como resultado, el flujo a través del elemento de superficie será igual al producto del área del elemento de superficie por la componente perpendicular de la velocidad. Entonces, el flujo total (total) a través de toda la superficie será igual al producto de la componente normal promedio de la velocidad, que contaremos de adentro hacia afuera, por el área de la superficie total.

Ahora volvamos al campo eléctrico. El campo eléctrico, por supuesto, no puede considerarse la velocidad del flujo de algún líquido, pero tenemos derecho a introducir un concepto matemático del flujo, similar al que describimos anteriormente como el flujo de la velocidad del líquido.

Solo en el caso de un campo eléctrico, su flujo puede determinarse por la componente normal promedio de la intensidad del campo eléctrico E. Además, el flujo del campo eléctrico puede determinarse no necesariamente a través de una superficie cerrada, sino a través de cualquier superficie limitada. de área distinta de cero S .

Circulación de un campo vectorial

Es bien sabido por todos que, para mayor claridad, los campos se pueden representar en forma de las llamadas líneas de fuerza, en cada punto de las cuales la dirección de la tangente coincide con la dirección de la intensidad del campo.

Volvamos a la analogía del fluido e imaginemos el campo de velocidad del fluido, hagámonos una pregunta: ¿el fluido está circulando? Es decir, ¿se mueve principalmente en la dirección de algún circuito cerrado imaginario?

Para mayor claridad, imagine que el líquido en un recipiente grande se está moviendo de alguna manera (Fig. A) y de repente congelamos casi todo su volumen, pero logramos dejar el volumen sin congelar en forma de un tubo uniformemente cerrado en el que no hay fricción del líquido en las paredes (fig. b).

Fuera de este tubo, el líquido se ha convertido en hielo y, por lo tanto, ya no puede moverse, pero dentro del tubo el líquido puede continuar su movimiento, siempre que predomine un impulso que lo impulse, por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj (Fig. .°C). Entonces, el producto de la velocidad del fluido en el tubo y la longitud del tubo se denominará circulación de la velocidad del fluido.

De manera similar, podemos definir una circulación para un campo vectorial, aunque de nuevo no se puede decir que el campo sea la velocidad de nada, sin embargo, podemos definir la característica matemática de "circulación" a lo largo de un contorno.

Entonces, la circulación de un campo vectorial a lo largo de un bucle cerrado imaginario se puede definir como el producto de la componente tangencial promedio del vector en la dirección del paso del bucle, por la longitud del bucle.