Un método simbólico para calcular circuitos de CA.

Un método simbólico de operaciones con cantidades vectoriales se basa en una idea muy simple: cada vector se descompone en dos componentes: uno horizontal, que pasa por la abscisa, y el segundo, vertical, que pasa por la ordenada. En este caso, todas las componentes horizontales siguen una línea recta y se pueden sumar por suma algebraica simple, y las componentes verticales se suman de la misma manera.

Este enfoque generalmente da como resultado dos componentes resultantes, una horizontal y una vertical, que siempre son adyacentes entre sí en el mismo ángulo de 90°.

Estos componentes se pueden usar para encontrar el resultado, es decir, para la suma geométrica. Los componentes de los ángulos rectos representan los catetos de un triángulo rectángulo y su suma geométrica representa la hipotenusa.

También se puede decir que la suma geométrica es numéricamente igual a la diagonal de un paralelogramo construido tanto sobre los componentes como sobre sus lados... Si la componente horizontal se denota por AG y la componente vertical por AB, entonces la suma geométrica ( 1)

Encontrar la suma geométrica de triángulos rectángulos es mucho más fácil que los triángulos oblicuos. Es fácil ver que (2)

se convierte en (1) si el ángulo entre los componentes es de 90°. Como cos 90 = 0, el último término de la expresión radical (2) desaparece, por lo que la expresión se simplifica mucho. Tenga en cuenta que se debe agregar una de las tres palabras antes de la palabra "suma": "aritmética", "algebraica", "geométrica".

Higo. 1.

La palabra "cantidad" sin especificar cuál da lugar a incertidumbre y en algunos casos a errores groseros.

Recuerde que el vector resultante es igual a la suma aritmética de los vectores en el caso de que todos los vectores vayan en línea recta (o paralelos entre sí) en la misma dirección. Además, todos los vectores tienen un signo más (Fig. 1, a).

Si los vectores van a lo largo de una línea recta pero apuntan en direcciones opuestas, entonces su resultado es igual a la suma algebraica de vectores, en cuyo caso algunos términos tienen signo más y otros tienen signo menos.

Por ejemplo, en el diagrama de la fig. 1, b U6 = U4 — U5. También podemos decir que la suma aritmética se utiliza en los casos en que el ángulo entre los vectores es cero, algebraica cuando los ángulos son 0 y 180°. En todos los demás casos, la suma se realiza vectorialmente, es decir, se determina la suma geométrica (Fig. 1, c).

Ejemplo... Determine los parámetros de la onda sinusoidal equivalente para el circuito Fig. 2, pero simbólico.

Respuesta. Dibujemos vectores Um1 Um2 y los descompongamos en componentes. Puede verse en el dibujo que cada componente horizontal es el valor del vector multiplicado por el coseno del ángulo de fase, y el vertical es el valor del vector multiplicado por el seno del ángulo de fase. Entonces

Higo. 2.

Obviamente, los componentes horizontales y verticales totales son iguales a las sumas algebraicas de los componentes correspondientes. Entonces

Los componentes resultantes se muestran en la Fig. 2, b. Determine el valor de Um para esto, calcule la suma geométrica de los dos componentes:

Determine el ángulo de fase equivalente ψeq. Higo. 2, b, se puede ver que la relación entre la componente vertical y la horizontal es la tangente del ángulo de fase equivalente.

dónde

La sinusoide así obtenida tiene una amplitud de 22,4 V, una fase inicial de 33,5° con el mismo periodo que las componentes. Tenga en cuenta que solo se pueden agregar ondas sinusoidales de la misma frecuencia, porque al agregar curvas sinusoidales de diferentes frecuencias, la curva resultante deja de ser sinusoidal y todos los conceptos aplicables solo a señales armónicas pierden validez en este caso.

Repasemos una vez más toda la cadena de transformaciones que deben realizarse con las descripciones matemáticas de las formas de onda armónicas al realizar varios cálculos.

Primero se reemplazan las funciones temporales por imágenes vectoriales, luego se descompone cada vector en dos componentes mutuamente perpendiculares, luego se calculan por separado las componentes horizontal y vertical, y finalmente se determinan los valores del vector resultante y su fase inicial.

Este método de cálculo elimina la necesidad de sumar gráficamente (y en algunos casos realizar operaciones más complejas, por ejemplo, multiplicar, dividir, extraer raíces, etc.) curvas sinusoidales y recurrir a cálculos utilizando fórmulas de triángulos oblicuos.

Sin embargo, es bastante engorroso calcular los componentes horizontal y vertical de la operación por separado.En tales cálculos, es muy conveniente tener un aparato matemático de este tipo con el que pueda calcular ambos componentes a la vez.

Ya a fines del siglo pasado, se desarrolló un método que permite cálculos simultáneos de números trazados en ejes mutuamente perpendiculares. Los números en el eje horizontal se llamaron reales y los números en el eje vertical se llamaron imaginarios. Al calcular estos números, se suma un factor de ± 1 a los números reales y ± j a los números imaginarios (léase "xi"). Los números que tienen partes reales e imaginarias se llaman complejo, y el método de cálculo realizado con su ayuda es simbólico.

Expliquemos el término «simbólico». Las funciones a calcular (armónicas en este caso) son originales, y aquellas expresiones que reemplazan a las originales son imágenes o símbolos.

Cuando se utiliza el método simbólico, todos los cálculos no se realizan en los originales, sino en sus símbolos (imágenes), que en nuestro caso representan los números complejos correspondientes, ya que es mucho más fácil realizar operaciones en las imágenes que en los originales.

Una vez completadas todas las operaciones de imagen, el original correspondiente a la imagen resultante se graba en la imagen resultante. La mayoría de los cálculos en circuitos eléctricos se realizan utilizando el método simbólico.