La ley de Biot-Savart y el teorema de la circulación del vector de inducción magnética

En 1820, los científicos franceses Jean-Baptiste Biot y Félix Savard, en el curso de experimentos conjuntos para estudiar los campos magnéticos de las corrientes continuas, establecieron inequívocamente que la inducción magnética de una corriente continua que circula por un conductor puede considerarse el resultado de la acción general de todas las secciones de este cable con corriente. Esto significa que el campo magnético obedece al principio de superposición (el principio de superposición de campos).

El campo magnético creado por un grupo de cables de CC tiene la siguiente inducción magnéticaque su valor se define como la suma vectorial de las inducciones magnéticas creadas por cada conductor por separado. Es decir, la inducción B del conductor de corriente continua puede representarse fielmente por la suma vectorial de las inducciones elementales dB pertenecientes a las secciones elementales dl del conductor de corriente continua I considerado.

Es prácticamente irreal aislar una sección elemental de un conductor de corriente continua, porque CORRIENTE CONTINUA. siempre cerradoPero puede medir la inducción magnética total creada por un cable, es decir, generada por todas las partes elementales de un cable dado.

Así, la ley de Biot-Sovar permite encontrar el valor de la inducción magnética B de la sección (longitud conocida dl) del conductor, con una corriente continua dada I, a una cierta distancia r de esta sección del conductor y en un cierta dirección de observación desde la sección seleccionada (establecida a través del seno del ángulo entre la dirección de la corriente y la dirección desde la sección del conductor hasta el punto examinado en el espacio cerca del conductor):

Se estableció experimentalmente que la dirección del vector de inducción magnética se determina fácilmente mediante el tornillo de la derecha o la regla del cardán: si la dirección del movimiento de traslación del cardán durante su rotación coincide con la dirección de la corriente continua I en el cable, entonces dirección de rotación del mango del cardán determina la dirección del vector de inducción magnética B producido por una corriente dada.

En la figura se muestra el campo magnético de un cable recto que lleva corriente, así como una ilustración de la aplicación de la ley de Bio-Savart:

Entonces, si integramos, es decir, sumamos, la contribución de cada una de las pequeñas secciones de un conductor de corriente constante al campo magnético total, obtenemos una fórmula para encontrar la inducción magnética de un conductor de corriente en un radio R determinado. .

De la misma forma, utilizando la ley de Bio-Savard, se pueden calcular las inducciones magnéticas a partir de corrientes continuas de diferentes configuraciones y en determinados puntos del espacio, por ejemplo, la inducción magnética en el centro de un circuito circular con corriente se encuentra por la fórmula siguiente:

La dirección del vector de inducción magnética se encuentra fácilmente de acuerdo con la regla del cardán, solo que ahora el cardán debe girarse en la dirección de la corriente cerrada, y el movimiento hacia adelante del cardán mostrará la dirección del vector de inducción magnética.

A menudo, los cálculos con respecto al campo magnético pueden simplificarse si tenemos en cuenta la simetría de la configuración de corrientes dada por el campo generador. Aquí puedes usar el teorema de la circulación del vector de inducción magnética (como el teorema de Gauss en electrostática). ¿Qué es «circulación del vector de inducción magnética»?

Elijamos en el espacio un cierto bucle cerrado de forma arbitraria e indiquemos condicionalmente la dirección positiva de su viaje. Para cada punto de este bucle, puede encontrar la proyección del vector de inducción magnética B en la tangente al bucle en ese punto. Entonces la suma de los productos de estas cantidades por las longitudes elementales de todas las secciones del contorno es la circulación del vector de inducción magnética B a lo largo de este contorno:

Prácticamente todas las corrientes que crean aquí un campo magnético general pueden penetrar en el circuito considerado o algunas de ellas pueden estar fuera de él. Según el teorema de la circulación: la circulación del vector de inducción magnética B de las corrientes continuas en un circuito cerrado es numéricamente igual al producto de la constante magnética mu0 por la suma de todas las corrientes continuas que penetran en el circuito. Este teorema fue formulado por Andre Marie Ampere en 1826:

Considere la figura de arriba. Aquí, las corrientes I1 e I2 penetran en el circuito, pero están dirigidas en diferentes direcciones, lo que significa que tienen signos condicionalmente diferentes.El signo positivo tendrá una corriente cuyo sentido de inducción magnética (según la regla básica) coincide con el sentido de la derivación del circuito seleccionado. Para esta situación, el teorema de circulación toma la forma:

En general, el teorema para la circulación del vector de inducción magnética B se deriva del principio de superposición del campo magnético y la ley de Biot-Savard.

Por ejemplo, derivamos la fórmula para la inducción magnética de un conductor de corriente continua. Elijamos un contorno en forma de círculo, a través del centro del cual pasa este cable, y el cable es perpendicular al plano del contorno.

Así, el centro del círculo se encuentra directamente en el centro del conductor, es decir, en el conductor. Dado que la imagen es simétrica, el vector B está dirigido tangencialmente al círculo y, por lo tanto, su proyección sobre la tangente es la misma en todas partes y es igual a la longitud del vector B. El teorema de la circulación se escribe de la siguiente manera:

Por lo tanto, sigue la fórmula para la inducción magnética de un conductor rectilíneo con corriente continua (esta fórmula ya se ha dado anteriormente). De manera similar, utilizando el teorema de la circulación, se pueden encontrar fácilmente las inducciones magnéticas de las configuraciones simétricas de CC donde la imagen de las líneas de campo es fácil de visualizar.

Uno de los ejemplos importantes en la práctica de la aplicación del teorema de circulación es encontrar el campo magnético dentro de un inductor toroidal.

Supongamos que hay una bobina toroidal enrollada vuelta a vuelta en un marco de cartón con forma de dona con el número de vueltas N. En esta configuración, las líneas de inducción magnética están encerradas dentro de la dona y tienen forma de círculos concéntricos (entre sí). .

Si mira en la dirección del vector de inducción magnética a lo largo del eje interior de la rosquilla, resulta que la corriente se dirige en todas partes en el sentido de las agujas del reloj (de acuerdo con la regla del cardán). Considere una de las líneas (que se muestran en rojo) de inducción magnética dentro de la bobina y elíjala como un bucle circular de radio r. Entonces el teorema de circulación para un circuito dado se escribe de la siguiente manera:

Y la inducción magnética del campo dentro de la bobina será igual a:

Para una bobina toroidal delgada, donde el campo magnético es casi uniforme en toda su sección transversal, es posible escribir la expresión de la inducción magnética como si fuera un solenoide infinitamente largo, teniendo en cuenta el número de vueltas por unidad de longitud: n :

Considere ahora un solenoide infinitamente largo donde el campo magnético está completamente dentro. Aplicamos el teorema de circulación al contorno rectangular seleccionado.

Aquí, el vector de inducción magnética dará una proyección distinta de cero solo en el lado 2 (su longitud es igual a L). Usando el parámetro n — «el número de vueltas por unidad de longitud», obtenemos tal forma del teorema de circulación, que finalmente se reduce a la misma forma que para una bobina toroidal multitonCoy: