Fundamentos y Leyes del Álgebra de la Lógica

matemático irlandés de mediados del siglo XIX jorge toro Desarrolló el álgebra de la lógica ("Estudio de las leyes del pensamiento"). Por lo tanto, el álgebra de la lógica también se llama álgebra de Boole.

Al dar designaciones de letras, expresar las operaciones de transformaciones lógicas en símbolos de acción y usar las reglas y axiomas establecidos para estas acciones, el álgebra de la lógica permite que el proceso de razonamiento para resolver un problema dado en términos de lógica de enunciados se describa completamente en algoritmos. , es decir, tener un programa matemáticamente escrito que resuelva este problema.

Para denotar la verdad o falsedad de enunciados (es decir, introducir valores para evaluar enunciados), el álgebra lógica utiliza un sistema binario, conveniente en este caso. Si la afirmación es verdadera toma el valor 1, si es falsa toma el valor 0. A diferencia de los números binarios, los 1 y 0 lógicos no expresan una cantidad, sino un estado.

Entonces, en los circuitos eléctricos descritos usando álgebra booleana, donde 1 es la presencia de voltaje y 0 es su ausencia, el suministro de voltajes de varias fuentes a un nodo del circuito (es decir, la llegada de varias unidades lógicas del mismo) es también se muestra como una unidad lógica que indica no el voltaje total en el nodo, sino solo su presencia.

Al describir las señales de entrada y salida de los circuitos lógicos, se utilizan variables que toman los valores de solo 0 o 1 lógico. Se determina la dependencia de las señales de salida en la entrada. operación lógica (función)… Denotemos las variables de entrada por X1 y X2, y la salida obtenida por una operación lógica sobre ellas por y.

Piénsalo tres operaciones lógicas elementales básicas, con la ayuda de los cuales se pueden describir otros cada vez más complejos.

1. Operación OR — adición lógica:

Dados todos los valores posibles de las variables, se puede definir la operación OR como la suficiencia de al menos una unidad en la entrada para producir una en la salida. El nombre de la operación se explica por el significado semántico de la unión OR en la frase: «Si OR es una entrada O la segunda es una, entonces la salida es una».

2. Operación AND — multiplicación lógica:

A partir de considerar el conjunto completo de valores de las variables, la operación AND se define como la necesidad de hacer coincidir todos los valores de las entradas para obtener uno en la salida: “Si AND es una entrada y la segunda es unos, entonces la salida es uno. «

3. Operación NOT — negación o inversión lógica. Se indica mediante una barra encima de la variable.

Cuando se invierte, el valor de la variable se invierte.

Leyes básicas del álgebra lógica:

1. La Ley del Conjunto Cero: el producto de cualquier número de variables se anula si alguna de las variables es cero, independientemente de los valores de otras variables:

2. La ley del conjunto universal — la suma de cualquier número de variables se convierte en uno si al menos una de las variables tiene el valor uno, independientemente de otras variables:

3. La ley de la repetición — las variables repetidas en la expresión se pueden omitir (en otras palabras, no hay exponenciación ni multiplicación por un coeficiente numérico en el álgebra booleana):

4. La ley de la doble inversión — la inversión realizada dos veces es una operación vacía:

5. Ley de complementariedad — el producto de cada variable y su inversa es cero:

6. La suma de cada variable y su recíproco es uno:

7. Leyes protectoras — el resultado de realizar operaciones de multiplicación y suma no depende del orden en que siguen las variables:

8. Leyes Combinadas — durante las operaciones de multiplicación y suma, las variables se pueden agrupar en cualquier orden:

9. Leyes de distribución — se permite poner el coeficiente total fuera de los paréntesis:

10. Leyes de absorción — indicar formas de simplificar expresiones que involucran una variable en todos los factores y términos:

11. Leyes de De Morgan — la inversión del producto es la suma de las inversiones de las variables:

la inversión de la suma es el producto de las inversiones de las variables: